Das entlehnte Wort «Approximation» bedeutet einfach Ähnlichkeit.
Zwei Entitäten sind sich ähnlich, wenn sie erstens in einer bestimmten Weise fast gleich sind und wenn es zweitens andere Entitäten gibt, die auf diese Weise zu einer der beiden Entitäten nicht fast gleich sind .
Die «bestimmte Weise gleich zu sein» wird auf viele verschiedene Arten beschrieben.
Ein Objekt hat fast die gleich Eigenschaft wie ein anderes Objekt. Zum Beispiel: Objekt A hat eine bestimmte Farbschattierung von «Rot» und Objekt B hat ebenfalls diese Schattierung. Objekt C hat dagegen die Farbe «Orange». A und B sind sich ähnlich, A und C dagegen nicht und auch B und C nicht.
Eine Beziehung A (oder ein Sachverhalt) ist in einem bestimmten Aspekt fast gleich zu einer Beziehung B. Dagegen ist Beziehung A nicht fast gleich zur Beziehung C. Zum Beispiel: A mag B aber A mag C nicht und auch B mag C nicht.
Ein Ereignis A dauert eine bestimmte Zeit lang an und ist in einer bestimmten Eigenschaft zum Ereignis B ähnlich. Dagegen ist A nicht zu B ähnlich, wenn eine fast gleiche Eigenschaft von A nicht auch fast gleichzeitig bei B auftritt, oder wenn es gleichzeitig keine Eigenschaft gibt, die sowohl dem Ereignis A als auch dem Ereignis B zugeschrieben werden kann.
a) Beschreiben Sie ein Ereignis, welches neben der Zeitdimension noch eine weitere Eigenschaft hat. Versuchen Sie das Ereignis zeichnerisch zweidimensional darzustellen. Auf der x-Achse sollte die Zeitdimension und auf der y-Achse sollten verschiedene Ausprägungen einer Eigenschaft abgebildet sein.
Eine Ähnlichkeit lässt sich nach Graden oder nach Ausprägungen ordnen, wenn klar ist, um welche Art von Ähnlichkeit es sich handelt, d.h. in welcher Weise die Entitäten zueinander ähnlich sind. In der Mathematik werden alle Entitäten und die verschiedenen Arten und Ausprägungen radikal zu einer einzigen Dimension abstrahiert, die sich auch zahlenmäßig fassen lässt. Die angesprochenen Entitäten bilden eine Menge P von Punkten. Ähnlichkeit wird durch den räumlichen oder abstrakt gehaltenen Begriff des Abstandes ausgedrückt. Abgekürzt wird geschrieben: «Punkt p hat den Abstand α zum Punkt p ‘», oder noch kürzer: d ( p, p ‘ ) = α. α ist dabei eine (reelle) Zahl größer oder gleich 0.
b) Zeichnen Sie eine zweidimensionale Menge z.B. als Rechteck. Zeichnen Sie einen schwarzen Punkt p in diese Menge ein. Bilden Sie einen Kreis innerhalb des Rechtecks, so dass der Punkt auch innerhalb des Kreises liegt. Machen Sie den Durchmesser des Kreises kleiner oder größer. Interpretieren Sie diese Beziehungen zwischen Punkten, Kreisen und Mengen.
c) Zeichnen Sie einen zweiten Punkt p ‘ und die Strecke zwischen p und p ‘ ein. Interpretieren Sie die Länge dieser Strecke sowohl in allgemeiner Weise als auch durch ein konkretes Beispiel.
d) Zeichnen Sie einen weiteren Punkt p ” und die zwei dazugehörigen Strecken ein. Interpretieren Sie diese Strecken in allgemeiner Weise.