Wir definieren ein einfaches Umgebungssystem für einen Punkt p0 in einer Ebene.
a) Zeichnen Sie die x– und y-Achse auf und tragen Sie den Punkt p0 in dieser Ebene irgendwo ein. Zeichnen Sie einen Kreis um p0. Überprüfen Sie, ob alle Punkte in diesem Kreis eine Umgebung für p0 bilden.
b) Zeichnen Sie zwei größere und zwei kleinere Kreise ein, die alle den Mittelpunkt p0 haben. Prüfen Sie, ob die Vereinigung von zwei Umgebungen wieder eine Umgebung von p0 ist und dasselbe bei einem Durchschnitt zweier Umgebungen.
c) Zeichnen Sie bei einem der Kreise den Durchmesser d des Kreises ein. Zeichnen Sie einen weiteren Kreis, deren Durchmesser d + 1 ist. Verfahren Sie genauso, wenn der Durchmesser d + 2, d + 3 und d + 4 ist.
d) Ist die Menge { p0 } mengentheoretisch betrachtet ein Kreis? Was wäre der Durchmesser dieses Kreises?