Ü6-14: Mögliche Systeme

Ein mögliches System (für eine Theorie) wird gedanklich aus der Menge der Modelle der Theorie wie folgt gebildet.
1) wird ein Modell x der Form $\langle G_1, ..., G_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu}, R_1, ..., R_{\nu}\rangle$ genommen.
2) werden die Hypothesen für die Modelle nicht mehr beachtet. Die Komponenten der Liste $\langle G_1, ..., G_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu}, R_1, ..., R_{\nu}\rangle$ werden nur noch als Mengen betrachtet.
3) werden diese Mengen gedanklich vergrößert. Das heißt, wir können die Mengen $G^+_1, ..., G^+_{\kappa}, R^+_1, ..., R^+_{\nu}$ «irgendwie» bilden, so dass $G_1 \subseteq G^+_1, ..., G_{\kappa} \subseteq G^+_{\kappa},R_1 \subseteq R^+_1, ..., R_{\nu} \subseteq R^+_{\nu}$ gilt. Dabei bleiben die Hilfsbasismengen $A_1, ..., A_{\mu}$ normalerweise unberührt (siehe aber Ü6-12).
4) können einige der Mengen $G^+_1, ..., G^+_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu},R^+_1, ..., R^+_{\nu}$ weggelassen werden. Dazu führen wir drei injektive Funktionen

$\phi_1 : \{1, ..., \kappa'\} \rightarrow \{1, ..., \kappa \}$, $\kappa' \leq \kappa$,
$\phi_2 : \{1, ..., \mu'\} \rightarrow \{1, ..., \mu \}$, $\mu' \leq \mu$ und
$\phi_3 : \{1, ..., \nu'\} \rightarrow \{1, ..., \nu \}$, $\nu' \leq \nu$

ein, und ändern die Bezeichnungen der Mengen

$G^+_1, ..., G^+_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu}, R^+_1, ..., R^+_{\nu}$ in
$G^{++}_1 = G^+_{\phi_1(1)}, ..., G^{++}_{\kappa'} = G^+_{\phi_1(\kappa')}$,
$A^{++}_1 = A_{\phi_2(1)}, ..., A^{++}_{\mu'} = A_{\phi_2(\mu')}$,
$R^{++}_1 = R^+_{\phi_3(1)}, ..., R^{++}_{\nu'} = R^+_{\phi_3(\nu')}$,

so dass folgende Liste $\langle G^{++}_1, ..., G^{++}_{\kappa'}, A^{++}_1, ..., A^{++}_{\mu'}, R^{++}_1, ..., R^{++}_{\nu'}\rangle$ entsteht.
5) können aus diesen Mengen

$G^{++}_1, ..., G^{++}_{\kappa'}, A^{++}_1, ..., A^{++}_{\mu'}, R^{++}_1, ..., R^{++}_{\nu'}$

Teilmengen gebildet werden

$G^*_1, ..., G^*_{\kappa'}, A^*_1, ..., A^*_{\mu'}, R^*_1, ..., R^*_{\nu'}$:
$G^*_1 \subseteq G^{++}_1, ..., G^*_{\kappa'} \subseteq G^{++}_{\kappa'}$,
$A^*_1 \subseteq A^{++}_1, ..., A^*_{\mu'} \subseteq A^{++}_{\mu'}$,
$R^*_1 \subseteq R^{++}_1, ..., R^*_{\nu'} \subseteq R^{++}_{\nu'}$.

Im Schritt 5) muss darauf geachtet werden, dass jedes Grundelement $a_s$ aus einem Sachverhalt $\langle a_1, ..., a_r\rangle$ ($a_s = \pi_s(\langle a_1, ..., a_r\rangle)$) aus einer Relation $R^*_i$ (d.h. $\langle a_1, ..., a_r\rangle \in R^*_i$) auch in der zugehörigen Grundmenge $G^*_t$ liegt.
Wenn in 5) die Grundmengen $G^*_t$ zu weit eingeschränkt werden, kann das gerade genannte Problem entstehen. In solchen Fällen werden einfach alle zu viel entfernten Grundelemente $a_s$ wieder zur jeweiligen Menge $G^*_t$ hinzugenommen.
Ein mögliches System kann also zuerst von einem Modell aus gesehen aufgebläht und dann wieder in mehreren Schritten verkleinert werden.

a) Wir geben vier Mengen $G_1 = \{a_1, ..., a_9\}, G_2 = \{b_1, ..., b_7\}$, $R_1 = \{ a_2, a_4, a_5, a_7\}$ und
$R_2 = \{ \langle a_2, b_1\rangle, \langle a_2, b_2\rangle, \langle a_2, b_3\rangle, \langle a_2, b_4\rangle,\langle a_2,b_5\rangle,\langle a_2,b_7\rangle,\langle a_3,b_1\rangle,\langle a_3,b_5\rangle,\langle a_5,b_1\rangle,\langle a_5,b_3\rangle,\langle a_5,b_5\rangle,\langle a_6,b_3\rangle,\langle a_6,b_5\rangle,\langle a_7,b_2\rangle,\langle a_7,b_7\rangle,\langle a_8,b_2\rangle,\langle a_8,b_4\rangle,\langle a_8,b_5\rangle,\langle a_9,b_1\rangle,\langle a_9,b_2\rangle,\langle a_9,b_3\rangle,\langle a_9,b_4\rangle \}$ vor. Hypothesen geben wir gar nicht erst an. Bilden Sie in Schritt 3) Obermengen $G^+_1,G^+_2$, $R^+_1$ und $R^+_2$, wobei mindestens zwei «neue» Elemente c_1, c_2 zu $G_2$ hinzukommen.
In Schritt 4) definieren Sie die Funktionen $\phi_1, \phi_2, \phi_3$ wie folgt, wobei $\kappa = 2, \mu = 0, \nu = 2, \kappa' = 2, \mu' = 0$ und $\nu' = 1$. $\phi_1(1) = 1$ und \phi_1(2)= 2$; $\phi_3$ wird hier nicht verwendet; $\phi_3(1) = 2$.
Bilden Sie in Schritt 5) folgende Teilmengen $G^*_1 = \{a_3,a_9\}, G^*_2 = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, c_1, c_2\}$ und $R^*_1 = \{\langle a_3,b_1\rangle,\langle a_3,b_5\rangle,\langle a_5,b_5\rangle,\langle a_9,b_1\rangle,\langle a_9,b_2\rangle,\langle a_9,b_3\rangle,\langle a_9,b_4\rangle,\langle a_1,c_1\rangle \}.
Prüfen Sie, ob alle Sachverhalte der Form $\langle a_i, b_j\rangle$ aus $R^*_2$ in den Grundmengen $G^*_1$ und $G^*_2$ vorhanden sind. Wenn nicht, ergänzen sie diese Grundmengen.

b) Wir beschreiben ein einfaches System der klassischen Stoßmechanik. Es besteht aus 2 Partikeln p, p ‘, den zwei Massenwerten m ( p ), m ( p ‘ ) der Partikel, den Geschwindigkeiten v ( p, vorher ), v ( p ‘, vorher ), v ( p, nachher ), v ( p ‘, nachher ) vor und nach einem Stoß, und aus reellen Zahlen. Geschwindigkeiten werden dabei durch reelle Zahlen dargestellt.

Beschreiben Sie dieses System mengentheoretisch in der Form 〈 P, { vorher, nachher }, \mathbb{R}, v, m 〉. Beschreiben Sie ein mögliches System, bei dem die Geschwindigkeiten nach dem Stoß dieselben Richtungen haben, wie die Geschwindigkeiten vor dem Stoß. Interpretieren Sie diese Information.