Theorie der Verbände (VER) – Wissenschaftstheorie

Grundmenge
O Menge von Objekten

Relationen
∩ Durchschnitt
∪ Vereinigung

Konstanten
0 Nullelement
1 Einselement

Typisierungen
Θ₁   ∩ ∈ $\cal FUN$ ( O × O : O )
Θ₂   ∪ ∈ $\cal FUN$ ( O × O : O )
Θ₃   0 ∈ O
Θ₄   1 ∈ O

Hypothesen
Für alle a, b, c ∈ O gilt:
H₁a ∩ b = b ∩ a
H₂a ∪ b = b ∩ a
H₃( a ∩ b ) ∩ c = a ∩ ( b ∩ c )
H₄( a ∪ b ) ∪ c = a ∪ ( b ∪ c )
H₅ a ∩ ( a ∪ b ) = a
H₆ a ∪ ( a ∩ b ) = a
H₇ a ∩ 0 = 0 ∧ a ∪ 0 = a
H₈ a ∩ 1 = a ∧ a ∪ 1 = 1
H₉∃ a ^c ( a ∩ a ^c = 0 ∧ a ∪ a ^c = 1 )
H₁₀a ∩ ( b ∪ c ) = ( a ∩ b ) ∪ ( a ∩ c )
H₁₁a ∪ ( b ∩ c ) = ( a ∪ b ) ∩ ( a ∪ c )

Modelle
x ist ein komplementärer, distributiver Verband mit Null und Eins gdw es 0, 1 und Mengen O, ∩, ∪ gibt, so dass gilt:

x = 〈 O, ∩, ∪, 0, 1 〉

und die Relationen und Konstanten haben die Typen Θ₁, …, Θ₄
und die Hypothesen H₁ ( O, ∩, ∪, 0, 1 ), …, H₁₁ ( O, ∩, ∪, 0, 1 ) gelten in x.

I(VER) ist die Menge der intendierten Systeme.

Varianten
Ein allgemeiner Verband erfüllt nur H₁, …, H₆
Ein Verband mit Null und Eins erfüllt H₁, …, H₈
Ein komplementärer Verband erfüllt H₁, …, H₉,
Ein Boolescher Verband erfüllt H₁, …, H₁₁

Beispiele
– Systeme von Ausdrücken in natürlichen Sprachen
– Systeme von mathematischen Objekten