Ü6-12: Einschränkende Hypothesen für Zahlen

Vier wichtige Zahlenmengen werden in der Wissenschaft häufig verwendet:
– $\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen
– $\mathbb{Q}$ die Menge der rationalen Zahlen
– $\mathbb{R}$ die Menge der reellen Zahlen
– $\mathbb{C}$ die Menge der komplexen Zahlen.
Diese Mengen sind durch verschiedene Axiomensysteme definiert.

Die obigen Mengen lassen sich definitorisch einschränken oder erweitern.
– $\mathbb{N}^+$ ist die Menge der positiven, natürlichen Zahlen
– $\mathbb{Q}^+$ ist die Menge der positiven, rationalen Zahlen
– $\mathbb{Q}^+_0$ ist die Menge der nicht-negativen, rationalen Zahlen
– $\mathbb{R}^+$ ist die Menge der positiven, reellen Zahlen
– $\mathbb{R}^+_0$ ist die Menge der nicht-negativen, reellen Zahlen
– $\mathbb{C}^+$ ist die Menge der positiven, komplexen Zahlen
– $\mathbb{C}^+_0$ ist die Menge nicht-negativen, komplexen Zahlen.
In vielen wissenschaftlichen Anwendungen werden oft nur Teilmengen dieser Mengen benötigt. Zum Beispiel werden endlich viele natürliche Zahlen verwendet, die z.B. bei 3 beginnen und mit n oder z.B. mit 100 enden. Ähnlich kann auch mit den anderen Zahlenmengen verfahren werden.

a) In der einfachsten Variante der Nutzentheorie wird gefordert, dass alle Warenarten einen positiven Preis haben. Formalisieren Sie die Quantitäten von Waren in einem Güterbündel und die Preise dieser Quantitäten so, dass alle Preise (reelle Zahlen) positiv sein müssen.

b) Was passiert, wenn eine Ware ein «öffentliches Gut» (z.B. Licht oder Luft) ist? Kann die Standardhypothese der Nutzentheorie weiterhin verwendet werden?

c) Wenn Waren auch negative Preise bekommen können, muss die zentrale Hypothese aus Ü6-11, mathematisch angepasst werden. Ändern Sie die Beschreibung des Güterbündels und passen Sie die Hypothese an.