Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie erstens von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen führt
f : 
→
und sie zweitens folgende Eigenschaft besitzt:
Für jede reelle Zahl ξ und für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass,
wenn x ∈ und | x – ξ | < δ,
dann ist | f ( x ) – f ( ξ ) | < ε.
a) Definieren Sie die Betragsfunktion | |. Jeder positiven reellen Zahl x wird ein Funktionswert | x | zugeordnet: | x | = x, und jeder negativen reellen Zahl x der Funktionswert: | x | = –x. Zeichnen Sie diese Funktion auf. Was passiert mit dem Argument 0?
b) Der Abstand d zwischen zwei Punkten a, b in einer Ebene wird definiert durch d ( a, b ) = | a – b |. Zeichnen Sie beide Punkte a, b auf der x-Achse ein. Zeichnen Sie den Nullpunkt der x-Achse so ein, dass er mit dem Punkt a identisch ist. Halten Sie Punkt a fest und schieben Sie den Punkt b nach links und nach rechts. Stellen Sie den Abstand von b zu a (und damit zum Nullpunkt) variabel durch die Betragsfunktion dar: | b | = | a – b |, wobei a = 0 ist.
c) Zeichnen Sie den Betrag | a + b | (analog wie in b) den Betrag | a – b | als eine Funktion, wobei a festgehalten wird und nur b variiert.
d) Versuchen Sie zu beweisen, dass für reelle Zahlen gilt:
| a + b | ≤ | a | + | b |.
(Hinweis: Verwenden Sie ein einführendes Buch über reelle Analysis.)
e) Zeichnen Sie drei verschiedene stetige Funktionen und drei nicht stetige Funktion.
f) Stellen Sie die obige Definition der Stetigkeit bei einer der Funktionen f in a) an einem einzigen Argument ξ von f dar. Bilden Sie auf der x-Achse eine Folge y1, y2, y3, … von Zahlen, die sich auf die Zahl ξ zu bewegen. Untersuchen Sie wie sich die Funktionswerte f ( y1 ), f ( y2 ), f ( y3 ) ,… auf der y-Achse verhalten. Diese müssen sich auf den Grenzwert f ( ξ ) zu bewegen.