Seien X, Y, X ‚ und Y ‚ Mengen und R eine Relation R ⊆ X × Y. Weiter seien injektive Funktionen f : X → X ‚ und f ‚ : Y → Y ‚ gegeben. Wir definieren die Menge Z
Z = { z / ∃ x ∈ X ∃ y ∈ Y ( 〈 x, y 〉 ∈ R ∧ z = 〈 f ( x ) , f ‚ ( y ) 〉 ) }.
Die Menge f ( x ) besteht aus den Funktionswerten aus X:
f ( x ) = { f ( x ) / x ∈ X }
und die Menge f ( y ) aus den Funktionswerten aus Y:
f ‚ ( Y ) = { f ‚ ( x ) / x ∈ X }.
a) Beweisen Sie, dass ( f ( X ) × f ‚ ( Y ) ) ⊆ ( X ‚ × Y ‚ ) und dass ℘ ( f ( X ) ) ⊆ ℘ ( X ‚ ).
b) Sei eine Relation R ‚ ⊆ X ‚ × Y ‚ gegeben. Wir nehmen an, dass R ‚ mit Z identisch ist. Können Sie sagen, dass R nach R ‚ transportiert wurde?
c) Definieren Sie die Funktion f ⊗ f ‚ : ( X × X ‚ ) → ( Y × Y ‚ ).
d) Wir nehmen an, dass R durch f ⊗ f ‚ zu R ‚ transportiert wurde. Wenn R durch die Hypothese H charakterisiert ist, gilt dann H auch für R ‚? (Hinweis: H beinhaltet, dass X oder Y nicht zu groß wird.)