Wir vergleichen zwei Modelle aus der klassischen Mechanik. Das erste Modell x1 stellt harmonische Schwingungen und das zweite Modell x1 stellt gravitierende Teilchen auf einer Ellipse dar. In beiden Modellen gibt es Ortsfunktionen s1 und s2, die in einem mathematischen Zahlenraum dargestellt werden. Aus Vereinfachungsgründen stellen wir die Ortsfunktion s1 1-dimensional und s2 2-dimensional dar. Diesen Unterschied sieht man auch bei graphischer Darstellung oder bei Videoclips, in denen die Bewegungen zeitlich real beschrieben werden. Auch auf der «materiellen» Ebene der Partikel werden beide Modelle unterschiedlich dargestellt. In einer harmonischen Schwingung wird nur das schwingende Partikel betrachten, während bei einer Ellipsenbewegung zwei Partikel betrachtet werden. Neben dem Partikel, welches eine Ellipse beschreibt, wird auch das «Zentralpartikel» betrachtet.
a) Formulieren Sie beide Ortsfunktionen s1 und s2 auf der symbolischen Ebene so, dass sie dieselben Typisierungen haben. Verwenden Sie dabei für den Ortsraum den 2-dimensionalen, reellen Zahlenraum.
b) Zeichnen Sie eine Schwingung so, dass sich die Orte, d.h. die Funktionswerte von s1 ( p, t ), auf einer geraden, vertikalen Linie befinden, d.h. die Orte wandern nach oben und unten. Folgen Sie mit den Augen einem Punkt auf dieser Linie, der das Partikel darstellt. Sie nehmen so die Bewegung auf einer Linie wahr.
c) Zeichnen Sie einige Orte des ersten Teilchens auf einer Ellipse ein und zeichnen Sie das Zentralpartikel an einem der beiden Brennpunkte ein. Folgen Sie mit den Augen einem Punkt auf der Ellipse. Sie sehen, dass die Bewegung des Partikels in zwei Dimensionen stattfindet. Legen Sie beide Zeichnungen nebeneinander.
d) Versuchen Sie sich graphisch die Ellipse der harmonischen Schwingung näher zu bringen, in dem Sie die Ellipse immer länger und schmaler werden lassen. Gibt es auch auf symbolischer Ebene eine Möglichkeit die Ellipsengleichung der Schwingungsgleichung anzunähern?