Wir betrachten das Beispiel der demokratischen Wahl, in der es nur zwei Kandidaten 0 und 1 gibt. Im Buch werden die Elementarereignisse als Listen von Wahlresultaten (0 oder 1) der Wähler dargestellt. Im Idealfall wird angenommen, dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wäre die Anzahl n der wahlberechtigten Wähler genau bekannt, dann würden diese Wahrscheinlichkeiten alle bei 1/n liegen.
Nehmen wir an, dass es genau 10 Wähler gibt. Damit ist die Menge Ω der 10-Tupel 〈 x1, …, x10 〉 mit xi ∈ { 0, 1 }, i = 1, …, 10. Die Zahl der möglichen Wahlausgänge n ist also 210 = 1024. Wir betrachten zwei bestimmte Zufallsereignisse A und B.
Jedes Tupel 〈 x1, …, x10 〉 aus A enthält genau 5 Wahlstimmen für den Kandidat 1.
Jedes Tupel 〈 x1, …, x10 〉 aus B enthält mindestens 2 Wahlstimmen für den Kandidat 0.
a) Berechnen Sie die Zahlen ℵ ( A ) und ℵ ( B ). Bestimmen Sie die Menge A ∩ B und berechnen Sie die Zahl ℵ ( A ∩ B ). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p ( A ), p ( B ) und die bedingte Wahrscheinlichkeit p ( A/B ) = p ( A ∩ B ) / p ( B ), wie dies in Abschnitt 11 im Buch durch relative Häufigkeiten beschrieben wird.
b) Formulieren Sie die Ereignisse A, B und A ∩ B in realistischer Weise. (Hinweis: Stellen Sie sich einen Wahlkampf vor. Eine verschworene Gruppe von Parteigängern ist sich sicher, dass alle Gruppenmitglieder Kandidat 0 wählen. A beschreibt die Kopf-an-Kopf Wahl.)
c) Interpretieren Sie in diesem Beispiel die bedingte Wahrscheinlichkeit p ( A/B ) inhaltlich. Warum ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit größer als 1/2?
d) Diskutieren Sie, ob Sie die am Anfang vorausgesetzte Gleichverteilung der Elementarereignisse realistisch finden. Sehen Sie in diesem Beispiel eine andere Verteilung der Elementarereignisse?
e) Formulieren Sie das Beispiel so um, dass alle Wahrscheinlichkeiten durch Prozentwerte angegeben werden können. (Hinweis: Ersetzen Sie 10 durch 100.)